Turunan Fungsi Aljabar

Share
Comment 2 reply
Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi aljabar merupakan fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, sebagai contoh fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tidak beraturan.

Pada dasarnya konsep turunan sering sekali kita pakai dalam kehidupan sehari-hari.

Baik itu di dalam ilmu matematika atau ilmu yang lainnya.

Fungsi dari turunan sendiri yang sering kita ketahui merupakan menghitung garis singgung pada suatu kurva atau fungsi dan kecepatan.

Tak hanya itu saja, konsep turunan ini juga sering dipakai dalam mencari laju pertumbuhan organisme (biologi), keuntungan marjinal (ekonomi), kepadatan kawat (fisika) serta laju pemissahan (kimia).

Seluruh fungsi tersebut pada dasarnya mempunyai konsep yang sama yakni konsep turunan. Untuk lebih jelasnya, yuk simak baik-baik ulasan di bawah ini:

Pengertian 

Pengertian Turunan

Turunan atau disebut juga seabagai Deriviatif merupakan suatu pengukuran kepada bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.

Secara umum, turunan akan menyatakan bagaimanakah sebuah besaran berubah akibat adanya perubahan besaran yang lainnya.

Sebagai contoj: turunan dari posisi suatu benda yang kemudian bergerak terhadap waktu merupakan kecepatan sesaat oleh objek tersebut.

Proses dalam menemukan suatu turunan disebut sebagai diferensiasi. Serta kebalikan dari suatu turunan disebut seabgai Anti Turunan. 

Teorema atau pernyataan fundamental kalkulus menyebutkan bahwa antiturunan merupakan sama dengan integrasi.

Turunan dan juga integral merupakan 2 buah fungsi penting yang ada di dalam kalkulus.

  • (in x)’
  • (sin x)’ = cos x
  • (cos x)’ = -sin x
  • (tan x) = sec2 x
  • y’ merupakan simbol untuk turunan pertama.
  • y” merupakan simbol untuk turunan kedua.
  • y”’ merupakan simbol untuk turunan ketiga.

Simbol lainnya selain simbol y’ dan y” yaitu simbol turunan

Pengertian Turunan Fungsi

Seperti yang telah kita sebutkan di atas, Turunan Fungsi atau yang disebut jua sebagai diferensial merupakan suatu fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya.

Contohnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai yang tidak beraturan.

Konsep turunan sebagai bagian utama dari materi kalkulus dipikirkan pada waktu yang bersamaan oleh seorang Ilmuan Ahli matematika sekaligus Fisika berkebangsaan inggris yang bernama Sir Isaac Newto (1642 – 1727). Serta oleh seorang ahli matematika berbangsa Jerman yang bernama Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).

Turunan atau diferensial dipakai sebagai sebuah alat untuk menyelesaikan berbagai permasalah yang dijumpai di dalam bidang geometri dan mekanika.

Konsep turunan fungsi secara universal atau menyeluruh banyak sekali dimanfaatkan di dalam berbagai bidang keilmuan.

Sebut saja dalam bidang ekonomi: yang dipakai guna menghitung berupa, biaya total atau total penerimaan.

Pada bidang biologi: dipakai untuk menghitung laju pertumbuhan organisme.

Pada bidang fisika: di pakai untuk menghitung kepadatan kawat.

Pada bidangkimia: dipakai untuk menghitung laju pemisahan.

Serta pada bidang geografi dan juga sosiologi: yang dipakai untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk serta masih banyak lagi.

Baca juga: Bilangan Bulat

Aturan menentukan turunan fungsi

Turunan bisa kita tentukan tanpa adanya proses limit.

Untuk kebutuhan ini dirancang teorema atau pernyataan mengenai turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan juga turunan fungsi invers.

Informasi selengkapnya simak pembahasan berikut ini:

Turunan dasar

Beberapa aturan dalam turunan fungsi antara lain:

  1. f(x), menjadi f'(x) = 0
  2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
  3. Aturan pangkat berlaku jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
  4. Aturan kelipatan konstanta berlaku jika (kf) (x) = k. f’(x)
  5. Aturan rantai berlaku jika ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Turunan jumlah, selisih, hasil kali, serta hasil bagi dua fungsi

Contohnya fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan sebagai berikut:

  1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
  2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) – g’ (x)
  3. (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)
  4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f’ (x)- f(x) g’ (x))/((g(x)2)

Turunan fungsi trigonometri

  1. d/dx ( sin x ) = cos x
  2. d/dx ( cos x ) = – sin x
  3. d/dx ( tan x ) = sec2 x
  4. d/dx ( cot x ) = – csc2 x
  5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x
  6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

Turunan fungsi invers

(f-1)(y) = 1/(f’ (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)

Rumus Dasar Turunan dari Turunan Fungsi

Beberapa aturan yang ada di dalam turunan fungsi antara lain:

  1. f(x), menjadi f'(x) = 0
  2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
  3. Aturan pangkat berlaku jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
  4. Aturan kelipatan konstanta berlaku jika (kf) (x) = k. f’(x)
  5. Aturan rantai berlaku jika ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Rumus dasar dari turunan fungsi sangat penting untuk kalian ingat.

Sebab rumus ini akan kalian pakai untuk menyelesaikan persoalan dari turunan fungsi aljabar.

Rumus Rumus Turunan Fungsi Al Jabar

1. Rumus Turunan Fungsi Pangkat

Turunan Fungsi berbentuk pangkat, turunannya bisa memakai rumus: Rumus Turunan Fungsi Pangkatsebagai berikut:

rumus turunan fungsi aljabar pangkat

Sehingga, rumus turunan fungsi pangkatnya adalah:

turunan fungsi pangkat

2.  Rumus turunan hasil kali fungsi Rumus turunan hasil kali fungsi

Rumusan Fungsi f(x) turunan yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), adalah sebagai berikut:

turunan fungsi aljabar hasil kali

Sehingga, rumus turunan fungsinya yaitu:

f'(x) = u’v +uv’

3. Rumus turunan fungsi pembagian Rumus turunan fungsi pembagian

pembagian

Sehingga, rumus turunan fungsinya yaitu:

rumus turunan fungsinya

4. Rumus turunan pangkat dari fungsi Rumus turunan pangkat dari fungsi

Perlu diingat, jika f(x) = xn , maka dari itu:

turunan pangkat dari fungsi

Sehingga, rumus turunan fungsinya yaitu:

f'(x) = nu(n – 1) . u’

4. Rumus-rumus Turunan Trigonometri

Berdasarkan definisi dari turunan, maka bisa kita dapatkan beberapa rumus turunan trigonometri yaitu sebagai berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x), antara lain: y’ =

  1. y = sin x→ y’ = cos x
  2. y = cos x → y’ = -sin x
  3. y = tan x → y’ = sec2 x
  4. y = cot x → y’ =  -csc2 x
  5. y = sec x → y’
  6. y = csc x → y’ = csc × cot x
  7. y = sinxy’ = n sinn-1 × cos x
  8. y = cosx → y’ = -n cosn-1 × sin x
  9. y = sin u → y’ = u’ cos u
  10. y = cos u → y’ = u’ sin u
  11. y = tan u → y’ = ui sec2 u
  12. y = cot u → y’ = -u’ csc2 u
  13. y = sec u → y’ = u’ sec u tan u
  14. y = csc u → y’ = u’ csc u cot u
  15. y = sinu → y’ = n.u’ sinn-1 cos u
  16. y = cosn u → y’ = -n.u’  cosn-1 . sin u

Turunan Fungsi Aljabar

Definisi Turunan

Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan oleh:

Rumus Turunan Fungsi Pangkat

dengan syarat limitnya ada.

Notasi Turunan

Turunan pertama fungsi y = f(x) pada x bisa kita notasikan seperti berikut ini:

  • y’ = f’x ⇒ lagrange
  • notasi turunan ⇒ leibniz
  • Dxy = Dx[f(x)]⇒ euler

Dari definisi di atas bisa kita turunkan beberapa rumus turunan seperti di bawah ini:

  1. f(x) = k  ⇒  f ‘(x) = 0
  2. f(x) = k x  ⇒  f ‘(x) = k
  3. f(x) = xn ⇒ f ‘(x) = nxn-1
  4. f(x) = k u(x)  ⇒ f ‘(x) = k u'(x)
  5. f(x) = u(x) ± v(x)  ⇒ f ‘(x) = u'(x) ± v'(x)

dengan k = konstan

Perhatikan beberapa contoh berikut ini:

  1. f(x) = 5  ⇒  f ‘(x) = 0
  2. f(x) = 2x  ⇒  f ‘(x) = 2
  3. f(x) = x2 ⇒  f ‘(x) = 2x2-1 = 2x
  4. y = 2x4  ⇒  y’ = 2. 4x4-1 = 8x3
  5. y = 2x4 + x2 − 2x  ⇒  y’ = 8x3 + 2x − 2

Untuk mencari turunan dari fungsi yang memuat bentuk akar atau pecahan, langkah pertama yang harus kita lakukan yaitu merubah terlebih dahulu fungsi tersebut ke dalam bentuk pangkat (eksponen).

Berikut terdapat beberapa sifat akar dan pangkat yang sering dipakai, atara lain:

  • xm . xn = xm+n
  • xm/xn = xm-n
  • 1/xn = x-n
  • √x = x1/2
  • n√xm = xm/n

Contoh:

Soal 1.

Tentukan turunan dari f(x) = x√x

Jawab:

f(x) = x√x = x. x1/2 = x3/2

f(x) = x3/2

contoh1

Soal 2.

Tentukan turunan dari 2 

Jawab:

jawab 2

Turunan Perkalian dan Pembagian Dua Fungsi

Misalkan y = uv, maka turunan dari y bisa dinyatakan sebagai:

y’ = u’v + uv’

Misalkan y = u/v, maka turunan dari y dapat dinyatakan sebagai:

turunan

Contoh Soal.

Soal 1.

Turunan dari f(x) = (2x + 3)(x2 + 2) yaitu:

Jawab:

Misalkan:

u = 2x + 3 ⇒ u’ = 2
v = x2 + 2 ⇒ v’ = 2x

f ‘(x) = u’ v + u v’
f ‘(x) = 2(x2 + 2) + (2x + 3) 2x
f ‘(x) = 2x2 + 4 + 4x2 + 6x
f ‘(x) = 6x2 + 6x + 4

Aturan Rantai

Apabila y = f(u), dengan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan pada x, maka turunan y terhadap x bisa dinyatakan dalam bentuk:

turunan fungsi aljabar pdf

Dari konsep aturan rantai di atas, maka  untuk y = un, akan didapatkan:

materi turunan fungsi aljabar kelas 11

Secara umum bisa dinyatakan seperti berikut ini:

Apabila f(x) = [u(x)]n dengan u(x) merupakan fungsi yang bisa diturunkan pada x, maka:

f'(x) = n[u(x)]n-1 . u'(x)

Contoh Soal.

Soal 1.

Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 1)4

Jawab:

Misalnya:

u(x) = 2x + 1  ⇒  u'(x) = 2
n = 4
f ‘(x) = n[u(x)]n-1 . u'(x)
f ‘(x) = 4(2x + 1)4-1 . 2
f ‘(x) = 8(2x + 1)

Soal 2.

Tentukan turunan dari y = (x− 3x)7

Jawab :

y’ = 7(x− 3x)7-1 . (2x − 3)
y’ = (14x − 21) . (x− 3x)6

Latihan Soal & Pembahasannnya

Soal 1.

Tentukanlah turunan fungsi dari f(x) = 2x(x4 – 5).

Jawab:

Misalkan jika u(x) = 2x dan v(x) = x4 – 5, maka:

u‘ (x) = 2 dan v‘ (x) maka = 4x3

Dengan begitu, akan didapatkan penjabaran serta hasilnya:

f ‘(x) = u ‘(x).v(x) + u(x).v ’(x) = 2(x4 – 5) + 2x(4x3 ) = 2x4 – 10 + 8x4 = 10x4 – 10

Soal 2. Soal Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi pertama dari Soal Turunan Fungsi Al Jabar yaitu …

Jawab:

Soal ini merupakan soal fungsi yang berbentuk y = aun yang dapat dibahas dan diselesaikan dengan menggunakan rumus y’ = n . a . un-1. Maka:

pembahasan

Sehingga turunannya adalah:

kumpulan soal turunan fungsi aljabar

Soal 3. Turunan Fungsi Trigonometri

Tentukan turunan pertama dari: Turunan Fungsi Trigonometri

Jawab:

Untuk menyelesaikan perosalan di atas, kita bisa memanfaatkan rumus campuran yakni:

rumus campuran

serta juga bisa menggunakan rumus y’ = n. u’ sinn-1 u . cos u

Sehingga:

contoh soal turunan fungsi aljabar kelas 12

Soal 4.

Turunan dari f(x) = (x – 1)2(2x + 3) adalah…

Jawab:

Misalkan:

u = (x − 1)2  ⇒ u’ = 2x − 2
v = 2x + 3    ⇒ v’ = 2

f ‘(x) = u’v + uv’
f ‘(x) = (2x − 2)(2x + 3) + (x − 1)2. 2
f ‘(x) = 4x2 + 2x − 6 + 2(x2 − 2x + 1)
f ‘(x) = 4x2 + 2x − 6 + 2x2 − 4x + 2
f ‘(x) = 6x2 − 2x − 4
f ‘(x) = (x − 1)(6x + 4)  atau
f ‘(x) = (2x − 2)(3x + 2)

Soal 5.

Apabila f(x) = x² – (1/x) + 1, maka f'(x) = . . . .

A. x – x²
B. x + x²
C. 2x – x-2 + 1
D. 2x – x2 – 1
E. 2x + x-2

Jawab:

f(x)  = x2 – (1/x) + 1

        = x2 – x-1 + 1
f'(x) = 2x -(-1)x-1-1
        = 2x + x-2

Jawabannya: E

Demikianlah ulasan singkat mengenai Turunan Fungsi Aljabar yang dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian.

Artikel Lainnya
Mungkin kamu juga suka artikel ini.