Trigonometri: Identitas, Rumus, Turunan, Tabel, Soal

5 min read

trigonometri

Pernahkah kalian mendengar kata trogonometri? Trigonometri merupakan suatu cabang ilmu matematika yang mempelajari mengenai sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisi.

Dasar yang digunakan dalam trigonometri adalah bangun datar segitiga.

Hal ini sebab arti dari kata trigonometri sendiri yang diambil dari bahasa Yunani yang berarti ukuran-ukuran dalam sudut tiga atau segitiga. Selengkapnya simak baik-baik pembahasan berikut ini.

Sejarah

Trigonometri berasal dari bahasa yunani, trigonon yang berarti tiga sudut dan metro = mengukur yang merupakan suatu cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik.

Sudut tersebut meliputi sinus, cosinus, dan tangen.

Trigonometri mempunyai hubungan dengan geometri, meskipun terdapat ketidaksetujuan mengenai apa hubungannya. Untuk beberapa orang, trigonometri merupakan salah satu bagian dari ilmu geometri.

Sejarah awal.

Awal trigonometri bisa ditemukan sampai pada zaman Mesir Kuno dan Babilonia serta peradaban Lembah Indus, ada pada lebih dari 3000 tahun yang lalu.

Matematikawan India merupakan perintis penghitungan variabel aljabar yang dipakai dalam menghitung astronomi sekaligus trigonometri.

Lagadha merupakan seorang matematikawan yang dikenal hingga sekarang yang memanfaatkan geometri dan trigonometri untuk menghitung astronomi dalam bukunya yang berjugul Vedanga, Jyotisha.

Dimana sebagian besar hasil karyanya hancur akibat adanya penjajah India.

Istilah Sinus, Cosinus dan Tangen meski merupakan bagian dari trigonometri, tetapi ketiganya jauh lebih tua daripada istilah Trigonometri itu sendiri pada sejarah penemuannya.

Istilah dari kata Trigonometri pertama kali dipakai di tahun 1595. Sementara untuk kata Sinus, Cosinus, dan Tangen telah eksis di tahun 600-an. Namun, tulisan ini tak hanya untuk membahas sejarah istilah trigonometri.

Secara etimologi, arti dari kata sinus jauh dari isi konsepnya. “Sinus” merupakan bahasa latin yang berarti “buah dada”.

Konsep perbandingan sisi depan terhadap hipotenusa dalam segitiga, dalam bahasa sansekerta populer disebut dengan “jiva”.

Lalu pada peradaban islam berkembang menjadi “Jiba”.

Sebab perkembangan ucapan dalam arab menjadi “Jaib” yang secara harfiah berarti ”buah dada”.

Nah, buah dada dalam istilah latinnya merupakan “sinus”. Serta berkembang menjadi “sine” dalam bahasa Inggris.

Sehingga jangan heran jika kalian meneukan kata sinus dalam kamus bahasa latin yang berarti “buah dada” dan barulah berkembang cosinus; “complementary sinus”.

Sementara kata tangen berkembang beberapa dekade setelahnya yang berasal dari kata latin “tangere” yang berarti menyentuh.

Bermula dari konsep segmen garis AB yang menyentuh lingkaran di A. Tangen merupakan perbedaan pada AB dan AO dalam sudut BOA.

Matematikawan Yunani yang beranama Hipparchus sekitar di tahun 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.

Matematikawan Yunani lainnya yang bernama Ptolemy sekitar pada tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Sehingga ditahun 499, Aryabhata yang merupakan seorang ahli matematik India menciptakan jadual-jadual separuh perentas yang kini dikenali sebagai jadual sinus, bersamaan dengan jadual kosinus.

Beliau memakai zya untuk sinus, kotizya untuk kosinus, serta otkram zya untuk sinus songsang. Dan beliau juga memperkenalkan versinus.

Kemudian di tahun 628, terdapat seorang ahli matematik India yang bernama Brahmagupta memakai formula interpolasi untuk menghitung nilai sinus sehingga peringkat kedua untuk formula interpolasi Newton-Stirling.

Ahli matematik Parsi, Omar Khayyam (1048-1131) kemudian menggabungkan trigonometri dan juga teori penghampiran untuk memberikan berbagai kaedah guna menyelesaikan persamaan algebra lewat min geometri.

Khayyam kemudian berhasil menyelesaikan persamaan kuasa tiga, x3 + 200x = 20×2 + 2000.  Serta memperoleh puncak positif untuk kuasa tiga ini lewat persilangan hiperbola segi empat tepat serta bulatan.

Penyelesaian angka hampiran kemudian diperoleh lewat interpolasi dalam jadual-jadual trigonometri.

Berbagai kaedah perinci yang digunakan dalam membina jadual sinus untuk mana-mana satu sudut diberikan oleh ahli matematik India yang bernama Bhaskara di tahun 1150.

Ia bersama-sama dengan sesetengah formula sinus dan kosinus.

Bhaskara juga kemudian mengembangkan trigonometri sfera.

Nasir al-Din Tusi seorang ahli matematik Parsi bersama dengan Bhaskara, mungkin adalah orang-orang pertama yang mampu mengolahkan trigonometri sebagai satu disiplin matematik dengan nilai yang berlainan.

Dalam karyanya, Karangan tentang sisi empat adalah orang pertama untuk menyenaraikan enam kes yang berbeza untuk segi tiga bersudut tegak dalam trigonometri sfera.

Kemudian di abad ke-14, al-Kashi yang merupakan seorang ahli matematik Parsi, dan Ulugh Beg (cucu lelaki Timur), seorang ahli matematik Timurid kemudian menghasilkan jadual-jadual fungsi trigonometri sebagai salah sebahagian dari kajian astronomi mereka.

Bartholemaeus Pitiscus seorang ahli matematik Silesia kemudian menerbitkan karya trigonometri yang terpengaruh di tahun 1595 memperkenalkan perkataan “trigonometri” terhadap bahasa Inggris dan bahasa Perancis.

Dan pada pertemuan kali ini, trigonometri yang akan dibahas merupakan trigonometri yang berkaitan dengan berbagai rumus jumlah atau selisih.  Serta hasil kali baik untuk sinus, cosinus, dan juga tangen.

Trigonometri atau dalam bahasa Yunani yaitu trigonon = “tiga sudut” dan metron = “mengukur” merupakan suatu cabang ilmu matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga.

Di mana trigonometri ini muncul pada abad ke-3 SM (Sebelum Masehi) di masa hellenistikguna mempelajari mengenai astronomi.

Pengukuran Sudut

trigonometry rumus

Menurut gambar di atas maka dapat kita simpulkan bahwa bsahawasannya pengukuran sudut adalah salah satu aspek penting dalam pengukuran dan juga pemetaan kerangka ataupun titik-titik detail.

Sistem besaran sudut yang digunakan juga tak sama antara satu dengan yang lain.

Sistem besaran sudut dalam pemetaaan dan pengukuran bisa terdiri atas:

  • Sistem Besaran Sudut Seksagesimal
  • Sistem Besaran Sudut Sentisimal
  • Sistem Sesaran Sudut Radian

Dasar untuk mengukur besaran sudutnya sama yang ada pada sebuah lingkaran yang dibagi menjadi empat bagian. Dan lingkaran tersebut disebut sebagai kuadran yang terbagi menjadi 4 daerah. Diantaranya yaitu: Kudran I, II, III dan kuadran IV.

Untuk cara sexagesimal lingkaran bisa dibagi menjadi 360 bagian yang sama serta pada masing-masing bagiannya disebut sebagai derajat. Maka 1 kuadran dalam lingkaran tersebut yaitu = 900.

1o = 60’ 1’ = 60” 1o = 3600”

Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku – Siku

trigonometri sin cos tan

Untuk definisi perbandingan trigonometri sudut siku-siku pertama adalah:

trigonometri adalah

Dan untuk definisi perbandingan trigonometri sudut siku-siku kedua, adalah:

identitas trigonometri

Nilai Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut – Sudut Istimewa

Nilai perbandingan mempunyai beberapa tabel yang akan memudahkan kalian untuk menemukan hasilnya. Tabel itu sendiri mempunyai 2 jenis tabel Istimewa.

Apa saja jenisya? Perhatikan tabel yang ada di bawah ini:

Tabel perbandingan trigonometri sudut istimewa pertama

sejarah trigonometri

Tabel perbandingan trigonometri sudut istimewa kedua

fungsi trigonometri

Perbandingan Sudut dan Sudut Relasi Trinogometri I

Perbandingan sudut serta relasi trigonometri adalah perluasan dari definisi dasar trigonometri mengenai kesebangunan dalam segitiga siku-siku yang hanya dapat memenuhi sudut kuadran I. Serta sudut lancip (0 − 90°).

Sebagai contohnya kalian dapat perhatikan gambar yang ada di bawah ini ya!

trigonometri kelas 10

Perbandingan Sudut dan Sudut Relasi Trigonometri II

Bagi setiap α lancip, maka (90° + α) dan (180° − α) akan dapat menghasilkan sudut kuadran II. Dalam trigonometri, relasi dari berbagai sudut tersebut dapat dinyatakan seperti berikut ini:

sudut trigonometri

Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri merupakan kesamaan yang mengandung perbandingan trigonometri dari sebuah sudut.

Suatu identitas trigonometri bisa menggambarkan kebenarannya melalui tiga cara.

Yang pertama, diawali dengan menyederhanakan ruas kiri dengan memakai identitas sebelumnya hingga menjadi bentuk yang sama dengan ruas kanan.

Yang kedua, mengubah sekaligus menyederhanakan ruas kanan hingga menjadi bentuk yang sama dengan ruas kiri.

Dan cara yang ketiga, mengubah baik ruas kiri ataupun ruas kanan ke dalam bentuk yang sama.

Terdapat beberapa rumus identitas trigonometri yang haurs kalian ketahui, diantaranya yaitu:

1. Rumus dasar yang merupakan kebalikan

Rumus dasar yang merupakan kebalikan

2. Rumus dasar yang merupakan hubungan perbandingan

Rumus Dasar Hubungan Perbandingan

Untuk lebih jelasnya mengenai rumus identitas trigonometri, akan kita jabarkan di bawah ini:

Macam-macam Rumus Identitas Trigonometri

1. Rumus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

  • Rumus pada Cosinus Jumlah Selisih Dua Sudut yaitu:

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B 
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

  • Rumus pada Sinus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut yaitu:

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B 
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

  • Rumus pada Tangen Jumlah Dan Selisih Dua Sudut yaitu:

tan A (A + B) = tan A + tan B/1 – tan A x tan B
tan A (A – B) = tan A – tan B/1 + tan A x tan B

2. Rumus Untuk Sudut Rangkap

  • Dengan memanfaatkan Rumus sin (A + B) Untuk A = B maka akan menjadi:

sin 2A = sin (A + B)
= sin A cos A + cos A sin A
= 2 sin A cos A
Jadi, sin 2A = 2 sin A cos A

  • Dengan memanfaatkan Rumus cos (A + B) Untuk A = B maka akan menjadi:

cos 2A = cos (A + A)
= cos A cos A – sin A sin
= cos 2A – sin 2A ……………………(1)

atau bisa juga

cos 2A = cos 2A – sin 2A
= cos 2A – (1 – cos 2A)
= cos 2A – 1 + cos 2A
= 2 cos 2A – 1…………………………(2)

ataupun

cos 2A = cos 2A – sin 2A
= (1 – sin 2A) – sin 2A
= 1 – 2 sin 2A……………………….…(3)

Dari Peramaan (1), (2), (3) di atas akan diperoleh rumus baru yakni:

cos 2A = cos 2A – sin 2A
= 2 cos 2A – 1
= 1 – 2 sin 2A

  • Dengan memanfaatkan Rumus tan (A + B) untuk A = B maka:

tan 2A = tan (A + A)
              = tan A + tan A/1 tan A x tan A
              = 2 tan A/1 – tan 2A
Sehingga, tan 2A = 2 tan A/1 – tan 2A

3. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut 

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Trigonometry

4. Rumus Perkalian Trigonometri Matematika

Rumus Perkalian Trigonometry Matematika

5. Rumus Jumlah dan Selisih 

Rumus Jumlah dan Selisih 

6. Rumus Setengah Sudut Trigonometri

Rumus Setengah Sudut Trigonometry

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Apabila tan 5°= p. maka tentukanlah nilai dari:

  • tan 50°

Jawab:

tan 50° = tan (45° + 5°)

= tan 45° + tan 5°/1 – tan 45° x tan 5°

= 1 + p/1 – p

Sehingga, hasil nilai dari tan 50° adalah = 1 + p/1 – p

2.Tentukanlah nilai dari sin 105° + sin 15°

Jawab:

Dari soal di atas bisa kita simpulkan bahwa jenis soal di atas adalah contoh soal penjumlahan trigonometri.

Sehingga kita dapat melihat rumus penjumlahan sin pada uraian di atas .

Rumusnya yaitu 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)

Jawab:

nilai sin 105° + sin 15° = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)°
= 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)°
= sin 60° cos 45°

Maka nilai dari sin 105° + sin 15° adalah sin 60° cos 45°

Baca juga: Fungsi Invers

Demikianlah ulasan singkat kali ini yang dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian.

Limit

Tiyas
7 min read

Bangun Datar

Tiyas
7 min read

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *