Matematika Keuangan

Dalam materi matematika keuangan dikenal juga dengan istilah keuangan kuantitatif yang merupakan suatu bidang matematika terapan, yang berhubungan dengan pemodelan matematika dari pasar keuangan.

Dilihat dari segi praktik, matematika keuangan bertumpuk pada bidang keuangan perhitungan atau yang juga dikenal dengan sebutan rekayasa keuangan.

Meski demikian, hal tersebut apat dikatakan sama, kejuteraan keuangan terkonsentrasi dalam aplikasi, sedangkan pada matematika keuangan terkonsentrasi ada pada model dan pengadaan.

Di dalam materi matematika keuangan yang akan kita bahas adalah bunga tunggal, bunga majemuk, rente, anuitas, angsuran, penerapan anuitas pada obligasi, serta penyusutan. Informasi selengkapnya, simak pembahasan selengkapnya mengenai Matematika Keuangan berikut ini.

Bunga Tunggal

Apabila diketahui jika bunganya adalah suatu suku bunga tunggal, maka dalam menghitung modal akhir bisa kita hitung dengan memakai rumus seperti di bawah:

M = Mo (1+n.i)

Keterangan:

• M = merupakan Modal akhir
• Mo = merupakan Modal awal
• n = merupakan Lama (waktu) peminjaman
• i = merupakan presentase suku bunga (bunga tunggal)

Sebagai contoh:

Hitunglah jumlah modal akhir dari modal sebesar Rp.10.000.000,- yang akan dipinjamkan selama 3 tahun dengan suku bunga tunggal 1% pada setiap triwulanya.

Jawab:

Sebab di atas tertera bunga akan diberikan pada setiap triwulannya maka;
n = 3 thn/ 3 bulan
= 3.12/ 3
= 36/3
= 12

Sehingga, selama 3 tahun akan berlangsung 12 kali pembayaran bunga.

Jadi besarnya modal akhir ialah sebesar:
M = Mo (1+n.i)
= 10.000.000 (1+ 12. 1%)
= 10.000.000 + 10.000.000 (12%)
= 10.000.000 + 1.200.000
= 11.200.000

Sehingga, besarnya modal akhir selepas 3 tahun yaitu Rp.11.200.000,-

• Bunga tunggal dihitung dan digunakan dalam sistem pinjaman dan permodalan

Bunga merupakan jasa dari pinjaman.

Suku bunga= bunga/(pinjaman mula-mula) x 100%

Sebagai contoh:

Gilang hendak meminjam uang dari Koperasi sejumlah Rp.1.000.000,00. Sesudah satu bulan, maka Gilang harus mengembalikan modal sekaligus bunganya dengan jumlah Rp.1.020.000,00.

Maka tentukan besarnya bunga serta suku bunganya!

Jawab:

Bunga = Rp.1020.000,00 – Rp.1.000.000,00 = Rp.20.000,00, sehingga;
suku bunga= 20.000,00/1.000.000,00 x 100%=2%

Bunga tunggal merupakan bunga yang didapatkan di setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak akan mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam.

Perhitungan bunga pada masing-masing periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap.

Rumus bunga yang sering digunakan adalah:

B = i x t x M

Keterangan:

• B = merupakan bunga
• i = merupakan suku bunga tiap periode
• t = merupakan banyaknya periode
• M = merupakan modal

Sebagai contoh:

Ssebuah modal sebesar Rp.1.000.000,00 kemudian dibungakan dengan suku bunga tunggal 2%/bulan. Maka hitunglah besarnya bunga sesudah kurun waktu 5 bulan ?

Jawab:

M = Rp.1.000.000,00
i = 2%/bulan
t = 5 bulan

besar bunga = 2% x 5 x Rp.1.000.000,00 = Rp.100.000,00

Sehingga, besarnya bunga selama kurun waktu 5 bulan yaitu Rp.100.000,00.

Bunga Majemuk

Di dalam materi matematika keuangan, dalam menentukan modal akhir apabila bunganya adalah bunga majemuk, maka bisa kita pakai dua cara atau metode, antara lain yaitu:

Apabila harga n bulat

Apabila harga n bulat maka rumus yang dipakai dalam mencari modal akhir ialah:

M = Mo (1+i)2

Keterangan:

• M = merupakan modal akhir
• Mo = merupakan modal awal
• n = merupakan lama (waktu) peminjaman
• i = merupakan presentase suku bunga (bunga majemuk)

Sebagai contoh:

Hitunglah jumlah modal akhir dari modal sebesar Rp.10.000.000,- yang telah dipinjamkan selama kurun waktu 2 tahun dengan suku bunga majemuknya 2% pada setiap tahunya.

Jawab:

M = Mo (1+i)2
M = 10.000.000 (1 + 12%)2
= 10.000.000 + (1 + 0,02)2
= 10.000.000 + 1.404.000
= 11.404.000,-

Sehingga, diketahui selepas kurun waktu 2 tahun modal akhir akan menjadi Rp.11.404.000.

• Bunga majemuk dihitung serta dipakai dalam sistem pinjaman dan permodalan

Perhatikan baik-baik ilustrasi yang ada di bawah ini:

Apabila a menyimpan uang pada sebuah Bank, lalu pada setiap akhir periode, bunga yang didapatkan tersebut tidak diambil.

Maka bunga tersebut akan bersama-sama modal menjadi modal baru yang akan berbunga di periode selanjutnya.

Bunga yang didapatkan nilainya akan lebih besar dari bunga pada periode sebelumnya.

Rumus yang sering digunakan dalam menentukan bunga majemuk dalam sistem pinjaman dan permodalan yaitu:

M_n=M〖(1+i)〗^n

Keterangan:

• Mn = merupakan modal pada periode ke-n (Modal akhir)
• M = merupakan modal awal
• i = merupakan suku bunga
• n = merupakan periode

Sebagai contoh:

Modal sejumlah Rp.5.000.000,00 akan dibungakan dengan bunga majemuk 10%/tahun. Hitunglah modal akhir serta bunga yang didapatkan selepas kurun waktu 6 tahun ?

Jawab:

Diketahui:

• M = Rp.5.000.000,00
• i = 10%/tahun = 0,1/tahun
• n = 6 tahun

Sehingga;

M_6=Rp.5.000.000,00 (1+0,1)^6
=Rp.5.000.000,00 (1,1)^6
=Rp.5.000.000,00 x 1,771561
=Rp.8.857.805,00

Bunga = Rp.8.857.805,00 – Rp.5.000.000,00 = Rp.3.857.805,00

Maka dari itu, modal akhir sebesar Rp.8.857.805,00 serta akan mendapatkan bunga sebesar Rp.3.857.805,00.

Atau bunga majemuk juga dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Mn = M (1+b)ⁿ
b      = j_m/m

Keterangan:

• Mn = merupakan nilai akhir
• M = merupakan nilai pokok awal
• n  = merupakan jumlah periode perhitungan bunga
• b  = merupakan tingkat bunga per periode perhitungan bunga
• m = merupakan frekuensi perhitungan bunga
• j_m  = merupakan tingkat bunga nominal dengan periode
  *perhitungan m kali per tahun

Rente

Menyelesaikan masalah rente dalam keuangan

1. Nilai akhir rente dihitung sesuai dengan jenisnya

Rente merupakan sederetan modal atau angsuran yang nantinya akan dibayarkan atau diterima dalam setiap jangka waktu tertentu yang tetap besarnya.

a. Nilai akhir Rente Pra Numerando

Na=(M(1+i) 〖((1+i)〗^t-1))/i

Keterangan:

• Na = Nilai akhir
• M = Modal
• i = suku bunga (%)
• t = periode

Sebagai contoh:

Pada setiap awal tahun, Gilang menyimpankan uang pada Bank BC sebesar Rp.1.000.000,00. Apabila bank memberikan bunga 6%/tahun, maka hitunglah uang Gilang sesudah menabung selama 20 tahun ?

Jawab:

Diketahui:

• M = Rp.1.000.000,00
• i = 6%/tahun = 0,06/tahun
• t = 20 tahun

Penyelesaian:

Na=(M(1+i) 〖((1+i)〗^t-1))/i
= (1.000.000,00(1+0,06)((〖1+0,06)〗^20-1))/0,06
= (1.000.000,00+60.000,00)(〖1,06〗^20-1)/0,06
= (1.060.000,00 (3,2071-1))/0,06
= (1.060.000,00 (2,2071))/0,06
= 2339563,6005/0,06
=38.992.726,6757

Sehingga, kita ketahui besar tabungan Niesa selepas kurun waktu 20 tahun ialah Rp.38.992.726,6757.

b. Nilai akhir Rente Post Numerando

Na=(M〖((1+i)〗^t-1))/i

Keterangan:

• Na = merupakan nilai akhir
• M = merupakan modal
• i = merupakan suku bunga (%)
• t = merupakan periode

Sebagai contoh:

Pada setiap akhir tahun, Setiawan menyimpan uangnya pada Bank Mandiri sebesar Rp.800.000,00 selama kurun waktu 25 tahun.

Apabila bank tersebut memberikan bunga 5%/tahun, maka hitunglah jumlah simpanan Setiawan!

Jawab:

Diketahui:

• M = Rp.800.000,00
• i = 5%/tahun = 0,05/tahun
• t = 25 tahun

Na=(M〖((1+i)〗^t-1))/i
= (800.000,00 ((1+0,05)^25-1))/0,05
= (800.000,00 (〖1,05〗^25-1))/0,05
= (800.000,00 (3,3863-1))/0,05
= (800.000,00 (2,3863))/0,05
= 1.909.083,9527/0,05
=38.181.679,0543

Sehingga, dapat kita ketahui bahwa besar simpanan Setiawan selepas 25 tahun adalah Rp.38.181.679,05.

2. Nilai tunai rente dihitung sesuai dengan jenisnya

a. Nilai tunai Rente Pra Numerando

Nt=(M(1+i) 〖(1-(1+i)〗^(-t)))/i

Keterangan:

• Nt = Nilai tunai
• M = Modal
• i = suku bunga (%)
• t = periode

Sebagai contoh:

Zaidan akan memperoleh beasiswa dalam setiap awal bulan dari PT UNILEVER sejumlah Rp.250.000,00 selama kurun waktu 3 tahun.

Apabila beasiswa tersebut akan diberikan sekaligus di awal bulan pertama serta dikenai bunga 2%/bulan, maka hitunglah besarnya beasiswa total yang akan diterima Zaidan!

Jawab:

Diketahui:

• M = Rp.250.000,00
• i = 2%/bulan = 0,02/bulan
• t = 3 tahun = 36 bulan

Nt=(M(1+i) 〖(1-(1+i)〗^(-t)))/i
= (250.000,00 (1+0,02)(1-(1+0,02)^(-36) ))/0,02
= 250.000,00(1,02)(1-(1,02)^(-36) )/0,02
= 250.000,00(1,02)(1-0,49022315)/0,02
= 255.000,00(0,50977685)/0,02
= 6.499.654,83

Sehingga, dapat kita ketahui bahwa besar beasiswa yang diterima oleh Zaidan adalah Rp. 6.499.654,83.

b. Nilai tunai Rente Post Numerando

Nt=(M〖(1-(1+i)〗^(-t)))/i

Keterangan:

• Nt = merupakan nilai tunai
• M = merupakan modal
• i = merupakan suku bunga (%)
• t = merupakan periode

Sebagai contoh:

Pada setiap akhir bulan, Yayasan Terkasih memperoleh sumbangan dari Badan Perdamaian Dunia sejumlah Rp.5.000.000,00 selama kurun waktu 3 tahun berturut-turut.

Apabila kemudian sumbangan akan diberikan sekaligus serta dikenai bunga sebesar 2%/bulan, maka hitunglah sumbangan total yang akan diterima oleh Yayasan Terkasih?

Jawab:

• M = Rp.5.000.000,00
• i = 2%/bulan = 0,02/bulan
• t = 3 tahun = 36 bulan

Nt=(M〖(1-(1+i)〗^(-t)))/i
= (5.000.000,00 (1-(1+0,02)^(-36) ))/0,02
= (5.000.000,00 (1-(1,02)^(-36) ))/0,02
= (5.000.000,00 (1-0,49022315))/0,02
= (5.000.000,00 (0,50977685))/0,02
=127.444.212,5

Sehingga, dapat kita ketahui bahwa besar sumbangan yang akan diterima oleh Yayasan Terkasih adalah Rp.127.444.212,50.

Anuitas

Rumus Mencari Nilai Anuitas

Dalam mencari nilai anuitas, kita bisa memakai rumus di bawah ini:

AN = M.i/1-(1+i)^-n

Keterangan:

• M = Modal
• i   = Suku bunga

Atau kita juga bisa menggunakan daftar tabel anuitas.

AN = M x daftar abuitas baris ke-n dan kolom i%

Adapun rumus hubungan anuitas dengan angsuran pertama, yaitu:

AN = A1 x (1+i)ⁿ

Keterangan:

• AN = Anuitas
• A1 = Angsuran Pertama
• i     = Suku Bunga
• n    = Jangka waktu

Sebagai contoh:

Laras bersama suaminya berencana akan mengambil rimah di daerah VILLA INDAH dengan harga Rp.250.000.000,00.

Namun, Laras hanya mempunyai uang muka Rp.100.000.000,00. Sisanya akan di cicil dengan menggunakan sistem anuitas tahunan selama 10 tahun dengan suku bunga 18%/tahun. Maka, hitunglah nilai anuitasnya!

Jawab:

M = 250.000.000 – 100.000.000 = 150.000.000
n   = 10 Tahun
i   = 18%/tahun = 0,18 / tahun
AN = M.i/ 1-(1+i)^-n
AN = 150.000.000 x 0.18 / 1-(1+0,18)^-10
AN = 27.000.000 / 1 – 1,18 ^-10
AN = 27.000.000/0,808935533
AN = 33.377.196,20

Rumus Sisa Pinjaman Anuitas

Terdapat 4 cara dalam mencari sisa pinjaman anuitas, diantaranya yakni:

Cara 1.

Cara atau metode pertama dapat mengguakan rumus di bawah ini:

Sm = B ke ^(m+1)/_i

Keterangan:

• Sm = merupakan sisa bunga ke m
• i = merupakan suku bunga

Cara 2.

Cara atau metode kedua dapat menggunakan rumus di bawah ini:

Sm = M – ( A1 + A1 x daftar nilai akhir rente kolom i % baris (m-1))

Keterangan:

• Sm = merupakan sisa bunga ke m
• M  = merupakan modal
• A1 = merupakan angusuran pertama

Cara 3.

Cara atau metode ketiga dapat menggunakan rumus di bawah ini:

Sm  = A1 x [ daftar nilai akhir rente kolom i % baris (n-1) – daftar nilai akhir renre kolom i% baris (m-1)]

Keterangan:

• Sm = merupakan sisa bunga ke m
• A1  = merupakan pertama

Cara 4.

Cara atau metode keempat dapat menggunakan rumus di bawah ini:

Sm = A x [ daftar nilai tunai rente kolom i% baris (n-m)]

Keterangan:

• Sm = Sisa bunga ke
• AN    = Anuitas

Contoh soal:

Kita akan mengambil contoh dari salah satu cara saja. Yakni dengan cara pertama:

Pinjaman sejumlah  Rp.10.000.000,00 dengan anuitas Rp 510.192,59, akan di lunasi dengan menggunakan sistem anuitas bulanan yang memiliki suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun.

Maka hitunglah besarnya sisa pinjaman ke 10 bulan!

Jawab:

B1 = M x i
= 10.000.000 x 0,03
= 300.000

A1 = AN-B1
= 510.192,59 – 300.000
= 210.192,59

A11 = A1 ( 1+i)^11-1
= 210.192,59 ( 1+0,03)¹⁰
= 210.192,59  x 1,343916379
= 282.481,26

B11 = AN – A11
= 510.192,59 – 282.481,26
= 227.711,33

S10 = ^B11/_i
= ^227.711,33/_0,03
= 7.590.377,67

Menyelesaikan masalah anuitas dalam sistim pinjaman

1. Anuitas dipakai dalam sistim pinjaman

Anuitas merupakan sejumlah pembayaran yang sama besarnya yang dibayarkan pada setiap jangka waktu tertentu, yang terdiri dari bagian bunga serta bagian angsuran.

Berikut ini adalah rumus yang biasa digunakan:

A=(M . i)/((〖1-(1+i)〗^(-t)))
A=a_1 x 〖(1+i)〗^t
a_n=a_1 〖(1+i)〗^(t-1)

Keterangan:

• A = merupakan anuitas
• M = merupakan modal / pinjaman
• i = merupakan suku bunga
• t = merupakan periode
• a1 = merupakan angsuran ke-1

Sebagai contoh:

Sebuah pinjaman sejumlah Rp 10.000.000,- akan dilunasi dalam waktu 3 angsuran dengan memiliki suku bunga 12% pertahun.

Hitunglah besar anuitasnya!

Jawab:

Diketahui:

• M = Rp 10.000.000,-
• i = 12% = 0,12
• t = 3

Penyelesaian:

A=(M . i)/((〖1-(1+i)〗^(-t) ) )
= (10.000.000 (0,12))/((1-(1+0,12)^(-3) ) )
= 1.200.000/((1-(1,12)^(-3) ) )
= 1.200.000/((1-0,711780))
= 1.200.000/0,28822
= 4.163.483,22

Sehingga, dapat kita ketahui bahwa besar anuitasnya perbulan yang harus dibayarkan adalah Rp.4.163.483

2. Anuitas dihitung dalam sistim pinjaman

Menyusun tabel rencana angsuran

Perhatikan contoh persoalan di bawah ini:

Sebauh pinjaman sejumlah Rp.15.000.00,00 akan dilunasi dalam kurun waktu 11 bulan dengan besaran suku bunga pinjaman 2% per bulan.

Hitunglah besar anuitas serta buatlah tabel rencana angsurannya!

Jawab:

• M = Rp.15.000.000
• i = 2%/bulan = 0.02/bulan
• t = 11 bulan

Dengan menggunakan rumus anuitas seperti pada contoh sebelumnya, maka akan kita dapatkan besar anuitas sebesar Rp.1.532.669.

Berikutnya akan kita tentukan besar bunga di bulan ke-1 yaitu dengan cara mengalikan antara suku bunga dengan besar pinjaman pada bulan ke-1. Yakni = 2% x Rp.15.000.000=Rp.300.000.

Begitu pula berikutnya untuk besar bunga bulan ke-2, bulan ke-3 …. dst.

Pada angsuran bulan ke-1 akan didapatkan dengan cara mengurangkan antara besar anuitas dengan besar bunga pada bulan ke-1. Yakni = Rp.1.532.669 – Rp.300.000 = Rp.1232.669.

Begitu pula untuk besar angsuran pada bulan berikutnya.

Sisa pinjaman bulan ke-1 didapatkan dengan cara mengurangkan antara besar pinjaman bulan ke-1 dengan besar angsuran bulan ke-1. Yakni= Rp.15.000.000 – Rp.1.232.669 = Rp.13.767.331.

Begitu pula untuk besar sisa pinjaman periode berikutnya.

Besar pinjaman pada bulan ke-2 didapatkan dari besar sisa pinjaman bulan ke-1.

Begitu pula untuk besar pinjaman berikutnya akan didapatkan dari besar sisa pinjaman pada bulan sebelumnya.

Perhatikan tabel rencana angsurannya.

Bulan ke- Pinjaman Anuitas Rp 1,532,669 Sisa Pinjaman
Bunga = 0.02 Angsuran

Jumlah Rp 1,859,361 Rp 15,000,000

Contoh Soal dan Pembahasan

Mencari Bunga Majemuk

Soal 1.

Tentukan bunga dari Rp 1.000.000 selama kurun waktu 2 tahun dengan tingkat bunga 10% p.a. Jika bunga dihitung semesteran!

Jawab:

Diketahui:

Mn = M (1+b)ⁿ

b = j_m/m

M =  1.000.000
I   =  10 % : 2 (Semester )= 0,05
n  =  1periode

Mn = 1.000.000 (1+0,05) ¹

Sehingga, total bunga majemuk selama kurun waktu 2 tahun yang dihitung semesteran yaitu Rp 215.506,25,-.

Soal 2.

Tuan Gilang hendak menyimpan uangnya sebesar Rp5.000.000 dalam suatu bank yang memberikan bunga sebesar 18% pertahun, di mana bunga akan dihitung bulanan. Berapa besar bunga yang dihasilkan selama kurun waktu di tahun pertama?

Jawab:

Diketahui:

M= Rp5.000.000
b = 18% / 12 = 1,5% = 0,015
n = 12 periode

Mn = M(1+b)ⁿ
Mn = Rp5.000.000 (1+0,015)¹²
Mn = 5.978.090,857

b  = S – P
b  = Rp5.978.090,857 – Rp5.000.000
b  = Rp 978.090,857

Soal 3.

Berapa nilai S dari P = Rp1.000.000 dengan menggunakan tingkat bunga dihitung semesteran atau j₂ = 18% p.a. selama kuruwn waktu 5 tahun?

Jawab:

Diketahui :

M = Rp1.000.000
b  = 18% / 2 = 9% = 0.09
n  = 5 x 2 = 10 periode

Mn= M (1+b)ⁿ

M = Rp1.000.000 (1+0,09)¹⁰
M = Rp1.000.000 (2,367363675)
M = Rp2.367.363,675

Demikianlah ulasan singkat mengenai Matematika Keuangan yang dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas mengenai Matematika Keuangan dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian.