Barisan dan Deret

Share
Comment 1 reply
Barisan dan Deret

Barisan dan deret dalam matematika merupakan urutan dari suatu anggota-anggota himpunan yang berdasarkan sebuah aturan tertentu.

Setiap anggota himpunan akan diurutkan dengan urutan atau suku pertama, kedua, dan seterusnya.

Barisan dan Deret

barisan dan deret aritmatika dan geometri

Guna menyebutkan urutan atau dalam matematika disebut sebagai suku ke-n dari sebuah barisan dinotasikan dengan Un.

Barisan juga bisa diartikan seabgai salah satu fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya himpunannya merupakan bilangan asli. Sehingga, Un= f(n)

contoh soal deret aritmatika dan geometri

Contohnya apabila ada Un= (Un+ 1), maka suku ke-4 dari baris tersebut yaitu U4= (2(4) + 1) = 9

Penjumlahan dari beberapa suku pada sebuah barisan disebut sebagai deret. Penjumlahan suku-suku tersebut dapat dibuat berupa sigma. Barisan dari suku U1, U2, U3, ….. Uyang dinyatakan dalam fungsi f(n) = Uf(n) =  U

mempunyai deret sebagai berikut: deret

Baris Aritmatika

contoh soal barisan dan deret geometri

Baris aritmatika adalah baris di mana pada masing-masing nilai sukunya diperoleh dari suku sebelumnya elwat penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b.

Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan akan bernilai sama yakni b. Maka dari itu:

Un – U(n-1) = b.

Sebagai contoh dari baris 1, 3, 5, 7, 9, adalah baris aritmatika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mencari tahu mengenai nilai suku ke-n dari sebuah barisan aritmatika bisa kalian cari dengan cara mengetahui nilai suku ke-k. Serta selisih antar suku yang berdekatan (b). Adapun rumus untuk mencarinya, antara lain:

Un  = Uk + (n-k)b

Apabila yang diketahui merupakan nilai suku pertama dari Uk = a serta selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai untuk Un adalah sebagai berikut:

Un = a + (n – 1) b

Deret Aritmatika

Deret aritmatika merupakan penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan aritmatika.

Penjumlahan dari suku-suku petama hingga pada suku ke-n barisan aritmatika bisa kalian hitung seperti berikut ini: Sn = U1+ U2 + U3 +….. + U(n-1)

barisan dan deret geometri

atau sebagai:

Sn+ a + (a+b) + (a+2b) + ….. + (a + (n-2)b) + (a + (n – 1)b)

Apabila hanya diketahui nilai a yang merupakan suku pertama serta nilai merupakan suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya yaitu:

Sn = n/2 (a + Un)

Persamaan tersebut dapat kita balik untuk mencari nilai suku ke-n, sehingga akan menjadi:

Sn = U1+ U2 + U3 +….. + U(n-1)

S(n-1) = U1+ U2 + U3 +….. + U(n-1)

Sn – S(n-1) = Un

Sehingga akan kita dapatkan Un= Sn  – S(n – 1)

Sisipan

Apabila ingin membuat suatu baris aritmatika dengan sudah diketahui nilai suku pertama (a) serta suku terakhirnya (p). Maka kita bisa menyisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut.

Sejumlah bilangan (q buah) tersebut akan menjadi beberapa suku baris aritmatika serta mempunyai selisih antar suku beredekatan (b).

Baris aritmatika tersebut mempunyai jumah suku q + 2 dan diurut yang berwujud:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)

Diketahui bahwa suku terakhir dari baris aritmatika di atas adalah:

(a + (q+1)b) = p

Maka, nilai dari b bisa ditentukan sebagai:

rumus airtmatika

Cotohnya: a= 1 dan p = 9, apabila disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya akan menjadi:

  • Nilai q = 3
  • Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5
  • Nilai q = 3 Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5
  • Baris aritmatikanya yaitu: 1, 3, 5, 7, 9

Suku Tengah

Apabila barisan aritmatika mempunyai jumlah suku ganjil, maka juga mempunyai suku tengah. Suku tengah baris aritmatika merupakan suku ke- 1/2(n + 1).

Apabila diselesaikan dalam rumus maka rumusnya: Un = a + (n – 1)b

barisan dan deret pdf

maka nilai suku tengah yang diperoleh adalah:

Un = a + (n – 1)b

rumus suku tengah

Barisan Geometri

barisan dan deret kelas 11

Baris geometri merupakan suatu baris yang nilai pada setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya lewat perkalian dengan sebuah bilangan r.

Perbandingan atau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu bernilai sama yakni r.

Maka dari itu rumus dari rasio adalah:

rumus rasio

Sebagai contoh untuk baris 1, 2, 4, 8, 16, adalah baris geometri dengan nilai:

rasio

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari sebuah barisan geometri bisa kita ketaui dengan cara mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya adalah seperti berikut ini:

Un  = Uk . r(n-k)

Apabila yang diketahui merupakan nilai suku pertama Uk = a serta rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan juga nilai dari Un adalah:

Un  = a . r(n-k)

Deret Geometri

barisan dan deret kelas 9

Deret geometri merupakan penjumlahan dari suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama hingga dengan suku ke-n barisan geometri bisa kit hitung sebagai berikut ini:

Sn = U1+ U2 + U3 +….. + U(n-1) + Un

Atau sebagai:

Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ….. + ar(n-2) + ar(n-1)

Apabila hanya diketahui nilai a merupakan suku pertama serta nilai Un merupakan suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya ialah sebagai berikut ini:

rumus suku ke n

dengan syarat 0 < r < 1..

atau:

rumus suku n

dengan syarat r> 1.

Persamaan tersebut dapat kita balik untuk digunakan mencari nilai suku ke-n. Cara mendapatkannya pun sama dengan deret aritmatika, antara lain dengan rumus:

Un = Sn – S(n-1)

Sisipan

Apabila ingin hendak membuat suatu baris geometri dengan sudah diketahui nilai suku pertama (a) serta suku terakhirnya (p). Maka bisa disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut.

Sejumlah bilangan (q buah) itu dapat menjadi suku-suku baris geometri serta mempunyai rasio antar suku beredekatan (r).

Baris tersebut mempunyai banyak suku q + 2 serta apabila diurutkan akan menjadi:

a, ar, ar2 , ar3 , ….. arq , ar(q+1)

Dimana suku terakhir tersebut yaitu:

ar(q+1) = p

Sehingga nilai r bisa kita tentukan sebagai:

rumus r

Deret Geometri Tak hingga

perbedaan barisan dan deret

Suatu deret geometri bisa menjumlakan suku-sukunya hingga menuju tak hingga. Jika deret geometri menuju tak hingga yang mana n → ∞ maka deret ini bisa kita jumlahkan menjadi:

Sn = U1+ U2 + U3 + U4+ …..

atau sebagai:

Sn = a + ar + ar2 + ar3+ ar4 + …..

Deret geometri tak hingga terdiri atas 2 jenis yakni konvergen dan divergen.

Deret geometri tak hingga sifatnya konvergen apabila penjumlahan dari suku-sukunya menuju atau mendekati sebuah bilangan tertentu.

Sementara bersifat divergen apabila penjumlahan dari suku-sukunya tidak terbatas.

Nilai deret geometri tak hingga bisa kita dapatkan dengan cara memakai limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri yaitu:

deret geometri

Dimana terdapat unsur rn di dalam perhitungannya yang terpengaruh jumlah suku n.

Apabila n → ∞ , maka untuk menentukan nilai rn bisa kita gunakan limit, yakni:

limit

dengan syarat -1 < r < 1.

dan:

rumus limit

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Lalu hasil limit rn tersebut dapat dimasukan ke dalam perhitungan deret sebagai:

limit deret

dengan syarat -1 < r < 1

serta:

limit rumus

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal Deret Aritmatika

Soal 1.

Suatu deret aritmatika mempunyai suku ke-5 sama dengan 42, serta suku ke-8 sama dengan 15. Jumlah 12 suku pertama deret tersebut yaitu?

Jawab:

Diketahui bahwa:

U5 = 42, U8 = 15, maka kita bisa menggunakan rumus:

Un  = Uk + (n-k)b

yang mana:

U8  = U5 + (8-5)b

15 = 42 + (8 – 5)b

3b = -27

b = -9

Sehingga:

U5  = 42 = a + 4b = a + 4( -9) = a – 36

78 = a

U12  = a  + 11b = 78 + 11( -9) = 78 – 99 = -21

Didapatkan:

jawaban

Contoh Soal Deret Geometri

Soal 1.

Apabila jumlah 2 suku pertama deret geometri merupakan 6 dan jumlah 4 suku pertama yaitu 54. Mempunyai rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut!

Jawab:

Diketahui bahwa:

S2 = 6

soal deret geometri

dan:

S4 = 54

jawab 2

Apabila kedua persamaan tersebut disubstitusikan maka akan menjadi:

54 = a(1 + r)(1 + r2)

54 = 6(1 + r2)

9 = (1 + r2)

sisip

dan:

dan

sehingga:

sehingga

Contoh Soal Geometri Tak Hingga

Soal 1. (SPMB 2005)

Apabila iyaa maka jumlah deret geometri tak hingga itu adalah….

Jawab:

Diketahui bahwa:

barisan dan deret SPMB 2005

Ditentukan ratio deretnya yaitu:

barisan dan deret ratio

Maka jumlah deretnya dengan mensubstitusi p + q = pq adalah sebagai berikut:

barisan dan deret p + q = pq

Contoh soal dan pembahasannya yang lain:

Soal 1 Barisan dan Deret.

Diketahui barisan aritmatika dengan U1 + U10 + U19 = 96. Suku ke-10 barisan tersebut sama dengan …

a. 22

b. 27

c. 32

d. 37

e. 42

Jawab:

Dari soal di atas kita dapatkan persamaan sebagai berikut ini:

U1 + U10 + U19 = 96

⇒ a + a + 9b + a + 18b = 96

⇒ 3a + 27b = 96

⇒ a + 9b = 32

Suku ke-10 barisan aritmatika tersebut yaitu:

U10 = a + 9b

⇒ U10 = a + 9b = 32

Jawabannya: C

Soal 2 Barisan dan Deret.

Apabila U2 + U15 + U40 = 165, maka suku ke-19 barisan aritmatika tersebut yaitu:

a. 10

b. 19

c. 28,5

d. 55

e. 82,5

Jawab:

Dari soal kita dapatkan persamaan sebagai berikut:

U2 + U15 + U40 = 165

⇒ a + b + a + 14b + a + 39 b = 165

⇒ 3a + 54b = 165

⇒ a + 18b = 55

Suku ke-19 barisan aritmatika tersebut yaitu:

U19 = a + 18b

⇒ U19 = 55

Jawabannya: d.

Soal 3 Barisan dan Deret.

Deret geometri 12 + 6 + 3 + ….

Tentukan nilai dari U3 + U5

Jawab:

U3 = 3
a = 12
r = 6/12 = 1/2

Un = arn −1
U5 = 12(1/2)5 −1 = 12(1/2)4 = 12(1/16) = 12/16 = 3/4

Sehingga:
U3 + U5 = 3 + 3/4 = 3 3/4

Soal 4 Barisan dan Deret.

Tunjukkan bahwa 2+(-6)+18+(-54)+162+ … adalah deret geometri atau deret ukur!

Jawab:

Syarat deret geometri yakni mempunyai nilai rasio yang tetap.

r = U2/U1 = -6/3 = -3

r = U3/U2 = 18/-6 = -3

r = U4/U3 = -54/18 = -3

r = U5/U4 = 162/-54 = -3

Sebab nilai rasionya selalu tetap yakni -3, maka 2+(-6)+18+(-54)+162+ … adalah deret geometri atau deret ukur.

Soal 5 Barisan dan Deret.

Tentukan banyak suku dari deret -3+6+(-12)…+96!

Jawab:

U1 = -3

Un = 96

r = 6/-3 = -2

Un = U1 × rn-1

96  = -3 × (-2)n-1

(-2)n-1 = 96 : (-3)

(-2)n-1 = -32

(-2)n-1 = (-2)5

n-1 = 5

n  = 6

Sehingga, banyak  suku pada deret tersebut adalah 6.

Soal 6 Barisan dan Deret.

Jumlah deret geometri tak hingga ialah 7, sementara jumlah suku – suku yang bernomor genap yaitu 3. Suku pertama deret tersebut adalah …

A. 7/4

B. 3/4

C. 4/7

D. 1/2

E. 1/4

Jawab:

Deret geometri: a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 + ar6 + …

Perhatikan suku genap dan ganjilnya, di mana pada suku-suku genap, suku pertamanya merupakan ar dan pada suku-suku ganjil, suku pertamanya merupakan ar, dengan rasionya yaitu r2.

soal cerita barisan dan deret

7(1 – r) = a … (i)

Berdasarkan rumus dari jumlah deret geometri tak hingga diatas, maka kita dapatkan rumus deret geometri tak hingga bersuku genap dengan mengganti suku awal dengan “ar” dan rasionya “r2“.

Sgenap = rasio tak hingga

3 = rasio tak hingga

3(1 – r2) = ar … (ii)

Substitusi (i) ke (ii), sehingga akan didapatkan:

3(1 – r2) = (7(1 – r))r

3 – 3r2 = 7r – 7r2

4r2 – 7r + 3 = 0

(4r-3)(r-1) = 0

r = 3/4 atau r = 1

substitusi nilai “r” tersebut ke dalam persamaan (i), sehingga akan menjadi:

untuk r = ¾

a = 7(1 – r) = 7(1 – 3/4) = 7/4

untuk r = 1

a = 7(1 – r) = 7(1 – 1) = 0

Jawaban: A

Soal 7 Barisan dan Deret.

Pertambahan penduduk pada sebuah kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri.

Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, di tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 sebanyak … orang.

A. 324

B. 486

C. 648

D. 1.458

E. 4.374

Jawab:

tahun 1996 => u1 = a = 6

tahun 1998 => u3 = ar2 = 54

6.r2 = 54

r2 = 9 => r = 3

tahun 2001 => u6 = ar5

6.(3)5 = 1.458

Jawabannya: D

Soal 8 Barisan dan Deret. 

Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Pada setiap tahunnya nilai jual mobil tersebut menjadi 3/4 dari harga sebelumnya. Berapa harga jual sesudah digunakan selama 3 tahun?

A. Rp. 20.000.000,00

B. Rp. 25.312.500,00

C. Rp. 33.750.000,00

D. Rp. 35.000.000,00

E. Rp. 45.000.000,00

Jawab:

Kata kunci dalam soal ini yaitu “Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari harga sebelumnya”, yang berarti rasio dari soal di atas adalah 3/4. Serta sudah termasuk dalam deret geometri.

Yang jadi pertanyaannya yaitu suku ke-4 dengan a = 80.000.000

u4 = ar3 = 80.000.000(3/4)3 = 33.750.000

Baca juga: Program Linear

Demikianlah ulasan singkat kali ini yang dapat kami sampaikan. Semoga ulasan di atas dapat kalian jadikan sebagai bahan belajar kalian.

Artikel Lainnya
Mungkin kamu juga suka artikel ini.